データの整理と分布の特徴

スタージェスの公式

次の式は、ヒストグラムの階数（分割）の個数についての目安を与える。

$$階級の個数 = 1 + 3.32 \times log_{10}（データ数）$$

ここで、$log_{10}(x)$ は底が $10$ の対数であり、$3.32$ は \frac{1}{log_{10}(2)} の近似値である。

度数＝面積

軽量データのヒストグラムにおいて、各階級の度数は棒柱の高さではなく面積である。
すなわち、

$$階級（棒柱）の幅の長さ \times 棒柱の高さ = 度数$$

平均の性質

$\sum_{i = 1}{n} (x_i\,-\,\bar{x}) = 0$
定数 $a, b$ に対して、$ax_1 + b, …, ax_n + b$ の平均 $\bar{ax + b}$ は、次のように書ける。

$$\bar{ax + b} = a\bar{x} + b$$

各 $x_i$ と $a$ の長さの $2$ 乗 $(x_i\,-\,a)^2$ の和を最小にするような解は平均 $\bar{x}$ で与えられる。すなわち、すべての定数 $a$ に対して、次の不等式が成り立つ。

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i\,-\,a)^2 \geq \sum_{i=1}^{n}(x_i\,-\,\bar{x})^2$$

分散の性質

定数 $a, b$ に対して、$ax_1 + b, …, ax_n + b$ の分散を $s^{2}_{ax+b}$ で表すと、

$$s^{2}_{ax + b} = a^{2}s^{2}_x, \, s_{ax+b} = |a|s_x$$

が成り立つ。$b$ は平行移動を表しているので、分散や標準偏差は平行移動には不変である。
$a$ はスケールを変えることを意味するので、データを $a$ 倍すると分散は $a^2$ 倍、標準偏差は $|a|$ 倍になる。

分散は次のように変形できる。

$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2\,-\,\bar{x}^2 = \overline{x^2}\,-\,\bar{x}^2$$

メディアンの性質

定数 $a, b$ に対して、次の式が成り立つ。

$$\rm{med}(ax_1 + b, …, ax_n + b) = a\,med(x_1,…,x_n) + b$$

各 $x_i$ と $a$ との差の絶対値 $|x_i\,-\,a|$ の和を最小にするような解はメディアン $\rm{med}_x$ で与えられる。
すなわち、すべての定数 $a$ に対して、次の不等式が成り立つ。

$$\sum_{i=1}^{n}|x_i\,-\,a| \geq \sum_{i=1}^{n}|x_i\,-\,\rm{med}_x|$$

メディアンは外れ値の影響を受けない（ロバスト性（頑健性））。

ジニ係数

度数分布表に基づいたニジ係数 $G$ は、

$$a_i = \frac{n_1 + … + n_i}{N}, \, b_i = \frac{m_1 + … + m_i}{N}$$

を用いて次で与えられる。

$$G = \sum_{i = 1}^{k – 1}(a_i\,-\,b_i)(a_{i+1}\,-\,a_{i\,- \,1})$$

データに基づいたニジ係数 $G$ は、次で与えられる。

$$G = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\left( \frac{i}{n}\,-\,\frac{x_{(1)}+\cdots+x_{(i)}}{n\bar{x}} \right) = \frac{1}{2n^{2}\bar{x}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_i\,-\,x_j|$$

物価指数

代表的な物価指数にラスパイレス型指数とパーシェ型指数があり、それぞれ

$$p_L(t)=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i(t)q_i(0)}{\sum_{j=1}^{n}p_j(0)q_j(0)}, \, p_P(t)=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i(t)q_i(t)}{\sum_{j=1}^{n}p_j(0)q_j(t)}$$

で与えられる。
$p_L(t)$ が基準点での購入量に基づいているのに対して、$p_P(t)$ は時点 $t$ での購入量に基づいている。