確率

確率の公理

確率 $P(\cdot)$ は、$\Omega$ の部分集合から閉区間 $[0,1]$ 上の実数への関数で、次の3つの性質を満たすものとして定義される。

すべての事象 $A$ に対して、$0 \leq P(A) \leq 1$ である。
全事象 $\Omega$ の確率は $P(\Omega)=1$ である。
2つの事象 $A_1$ と $A_2$ が排反なら、$P(A_1 \cup A_2 = P(A_1) + P(A_2)$ である。

確率の基本性質

2つの事象 $A$、$B$ に対して、次が成り立つ。

$P(A^c) = 1 \, – \, P(A), P(\emptyset)=0$
$A \subset B$ ならば $P(A) \leq P(B)$
$P(A \cup B) = P(B) \, – \, P(A \cap B)$

起こりうる結果が同様に確からしいときの確率

全事象 $\Omega$ が有限個からなる集合で、起こりうるすべての結果が同様に確からしいとする。
事象 $A$ は $\Omega$ の部分集合であるから、$A$ が起こる確率は次のようになる。

$$P(A) = \frac{Aの要素の個数}{N}$$

条件付き確率

2つの事象 $A$ と $B$ があって $P(B) \ne 0$ のとき、

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B}{P(B)}$$

を $B$ を与えたときの $A$ の条件付き確率と呼ぶ。

乗法定理

$P(B) \ne 0$ とする。
条件付き確率の定義から、$A$ と $B$ が同時に起こる確率は、次のように掛ける。

$$P(A \cap B) = P(A|B) P(B)$$

事象の独立性

2つの事象 $A$ と $B$ の間に等式

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

が成り立つとき、$A$ と $B$ は独立であるという。

ベイスの定理（ベイスの公式）

$A_1, … , A_n$ を互いに排反で、$P(A_k) \ne 0, \cup_{k=1}^{n} A_k = \Omega $ を満たす事象とする。
任意の事象 $B$ に対して $P(B) \ne 0$ のとき、$B$ を与えたときの $A_i$ の条件付き確率 $P(A_i|B)$ は、

$$P(A_i | B) = \frac{P(B|A_i) P(A_i)}{\sum^{n}_{k=1}P(B|A_k)P(A_k)}$$

と表される。
$P(A_i)$ を事前確率、$P(A_i|B)$ を事後確率と呼ぶ。