連続確率分布

確率密度関数と分布関数の関係

連続確率変数 $X$ の確率密度関数と分布関数をそれぞれ $f(x), F(x)$ とすると、$F(x)$ を $x$ に関して微分すると $f(x)$ が生じる。

すなわち、

$$F’ (x) = \frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{x} f(x) dt = f(x)$$

これは微積分の基本公式と呼ばれる性質で、$f(x)$ を積分してから微分すると元の $f(x)$ に戻ることを意味する。

$\int_{\infty}^{-\infty} |x|f(x)dx$ が有限のとき、$X$ の期待値を

$$E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx$$

で定義し、$\mu = E[X]$ を $X$ の確率分布を平均という。

また、$X$ の分散は、$\int_{\infty}^{-\infty} |x^2|f(x)dx$ が有限のとき、

$$\rm{Var} (X) = E[(X – \mu)^2] = \int_{\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx$$

で定義し、$\sigma^2 = \rm{Var} (X)$ として $X$ の確率分布の分散と呼ぶ。

$X$ の関数 $g(X)$ の期待値は、

$$E[g(X)] = \int_{\infty}^{-\infty} g(x) f(x) dx$$

で定義される。
ただし、$\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|f(x)dx$ が有限であることが仮定される。

一様分布 $U(a,b)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、次で与えられる。

$$E[X] = \frac{a+b}{2}, \, \rm{Var}(X) = \frac{(b\,-\,a)^2}{2}$$

$\Phi(0) = 0.5$, $\Phi(1) = 0.8413$, $\Phi(2) = 0.9772$, $\Phi(3) = 0.9987$

$z_{0.005} = 2.58$, $z_{0.01} = 2.33$, $z_{0.025} = 1.96$, $z_{0.05} = 1.64$

ただし、$z_p$ は $\Phi(z_p) = 1\,-\,p$ を満たす上側 $100%$ 分位点である。

確率変数 $X$ と $Z$ との間には、次のような関係が成り立つ。

$Z \sim N(0,1)$ のとき、$X = \sigma Z + \mu$ とおくと $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき、$Z = \frac{X\,-\,\mu}{\sigma}$ とおくと $Z \sim N(0,1)$

確率変数 $X$ が $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、$Y = aX + B$ と変数変換すると、$Y$ は $N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$ のような正規分布に従う。
この変換を線形変換という。

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、次で与えられる。

$$E[X] = \mu, \, \rm{Var}(X) = \sigma^2$$

特に, 標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ の変換と分散は、次で与えられる。

$$E[Z] = 0, \, \rm{Var}(Z) = 1$$

$s$ と $t$ を非負の実数とする。
時刻 $s$ まで生存している条件の下で、さらに $t$ 時間を超えて生存する条件付き確率は、時刻 $s$ まで生存しているという条件に依らない。
すなわち、$X$ が指数分布 $Ex(\lambda)$ に従うとき、

$$P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$$

が成り立つ。

指数分布 $Ex(\lambda)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、次で与えられる。

$$E[X] = \frac{1}{\lambda}, \, \rm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

標準正規分布の歪度は $\beta_1= 0$, 尖度は $\beta_2 = 0$ となる。

確率変数 $Z$ の確率密度関数が $fz(z)$ であるとき、$X = \sigma Z + \mu$ という線形変形を行うと、$X$ の確率密度関数 $fx(x)$ は次のようになる。

$$fx(x) = \frac{1}{\sigma}fz \left(\frac{x\,-\,\mu}{\sigma}\right)$$