離散確率分布

確率変数 $X$ が $\mathcal{X} = {x_1, x_2, … }$ 上に値をとるとし、$p(x_i) = P(X = x_i)$ とおく。
$p(x_i)$ が

$$p(x_i) \geq 0, \, \sum_{i = 1}^{\infty} p(x_i) = 1$$

を満たすとき、$p(x_i)$ を確率質量関数（単に確率関数）と呼ぶ。
また、実数 $x$ に対して $X \leq x$ となる確率を累積分布関数（単に分布関数）と呼び、$F(x) = P(X \leq x)$ と書く。

$X$ の確率関数が $p(x_i)$ のとき、$X$ は確率関数 $p(x_i)$ の離散確率分布に従うといい、
$X \sim p(x_i), X \sim F(x)$ などのように表す。

離散確率変数の期待値と離散確率分布の平均

$\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|p(x_i)$ が有限のとき、$X$ の期待値を

$$E[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)$$

で定義する。
また、$\mu = E[X]$ を $X$ の確率分布を平均という。

$\sum_{i=1}^{\infty} |x^{2}_{i}|p(x_i)$ が有限のとき、

$$\rm{Var}(X) = \sum_{i=1}^{\infty} (x_i\,-\,\mu)^{2} p(x_i)$$

を $X$ の確率分布を分散と呼び、$\sigma^2$ で表す。
また、$\mu = E[X]$ を $X$ の確率分布を平均という。

また、$\sqrt{\rm{Var(X)}}$ を標準偏差と呼び、$\sigma$ もしくは $\rm{SD} (X)$ で表す。

一般に、$X$ の関数 $g(X)$ の期待値は、$\sum_{i=1}^{\infty}|g(x_i)| p(x_i)$ が有限のとき、

$$E[g(X)] = \sum_{i=1}^{\infty} g(x_i)p(x_i)$$

で定義される。
$E[|h(X)|]$ が有限となる関数 $h(X)$ と定数 $a, b$ に対して、次の等式が成り立つ。

$X$ の分散は次のように変形できる。

$$\rm{Var}(X) = E{X^2}-(E[X])^2$$

ベルヌーイ分布 $Ber(p)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、次で与えられる。

$$E[X] = p, \, \rm{Var}(X) = p(1 \,-\, p)$$

2項分布 $Bin(n,p)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、次で与えられる。

$$E[X] = np, \, \rm{Var}(X) = np(1 \,-\, p)$$

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は等しく、次で与えられる。

$$E[X] = np, \, \rm{Var}(X) = np(1 \,-\, p)$$

$np = \lambda$ が一定の下で $p \rightarrow 0, n \rightarrow \infty $ とすると、2項分布 $Bin(n,p)$ はポアソン分布 $Po(\lambda)$ に収束する。

幾何分布 $Geo(p)$ に従う確率変数 $X$ の平均と分散は、$q = 1\,-\,p$ に対して次で与えられる。

$$E[X] = \frac{q}{p}, \, \rm{Var} (X) = \frac{q}{p^2}$$

$m$ と $n$ を非負の整数とし、$X$ が幾何分布 $Geo(p)$ に従うとき。

$$P(X \geq m + n | X \geq m) = P(X \geq n)$$

が成り立つ。