問題

D – いろはちゃんとマス目

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atcoder.jp

解法

• マス目を移動するパターンの数は \({}_{H + W} C_{H}\) か \({}_{H + W} C_{W}\) で計算する。計算しやすい方を使う。
• 下図、「ここは必ず通る」で分けて計算する。
  
• すなわち、
  S から B+1 へ行くパターンは何通りか？ × B+1 から Gへ行くパターンは何通りか？
  S から B+2 へ行くパターンは何通りか？ × B+2 から Gへ行くパターンは何通りか？
  …
  S から B+x へ行くパターンは何通りか？ × B+x から Gへ行くパターンは何通りか？
  
• S から B+1 へ行くパターンは何通りか？など上の部分の計算はダブる部分がある（左端を除く1つ左の計算結果）ので、引き算する必要がある。
• B+1 から Gへ行くパターンは何通りか？など下の部分の計算はダブらない。

コード例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
using ll = long long;
using P = pair<int, int>;
#define rep(i, n) for(int i = 0; i < (n); ++i)
// using mint = modint998244353;
using mint = modint1000000007;
const int mod = 1000000007;
// const ll INF = 1LL << 60;
// const int INF = 1001001001;

struct combination {
  vector<mint> fact, ifact;
  combination(int n) : fact(n + 1), ifact(n + 1) {
    assert(n < mod);
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
      fact[i] = fact[i - 1] * i;
    }
    ifact[n] = fact[n].inv();
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
      ifact[i - 1] = ifact[i] * i;
    }
  }
  mint operator()(int n, int k) {
    if(k < 0 || k > n) {
      return 0;
    } else {
      return fact[n] * ifact[k] * ifact[n - k];
    }
  }
};

int main() {
  int H, W;
  cin >> H >> W;
  int A, B;
  cin >> A >> B;

  combination c(W + H + 5);

  mint area1 = 0;
  vector<mint> temp(W - B);
  vector<mint> ans(W - B);
  for(int i = B; i < W; ++i) {
    area1 = c(i + H - 1 - A, i);
    temp[i - B] = area1;
    if(i == B) {
      ans[i - B] = area1;
    } else {
      ans[i - B] = area1 - temp[i - B - 1];
    }
  }

  mint area2 = 0;
  for(int i = 0; i < W - B; ++i) {
    area2 = c(A + i, A);
    ans[W - B - i - 1] *= area2;
  }

  mint result = 0;
  int n = ans.size();
  rep(i, n) { result += ans[i]; }

  cout << result.val() << endl;
  return 0;
}